Solución: Para encontrar la probabilidad, primero determinamos el número de maneras de elegir tres números cuya suma es divisible por 3. Usando aritmética modular, los posibles residuos al dividir entre 3 son 0, 1, 2. Las combinaciones favorables son:

["Solución: Cómo calcular la probabilidad de que la suma de tres números elegidos al azar sea divisible por 3", "Calcular la probabilidad de que la suma de tres números enteros elegidos al azar sea divisible por 3 es un clásico en teoría de probabilidades combinatoria. A través del uso de la aritmética modular, se simplifica enormemente este problema. Resolvamos paso a paso cómo encontrar las combinaciones favorables y determinar la probabilidad esperada.", "---", "### 1. Entendiendo la aritmética modular", "Al considerar números divididos entre 3, solo importa el residuo al dividirlos, es decir, sus clases de equivalencia módulo 3. Los posibles residuos son:", "- 0\n- 1\n- 2", "Cualquier número entero pertenece a una de estas tres categorías según su resto al dividirlo por 3. Por ejemplo,", "- 5 ≡ 2 (mod 3)\n- 8 ≡ 2 (mod 3)\n- 7 ≡ 1 (mod 3)", "Así, al elegir tres números al azar, solo importa el residuo de cada uno, no el número en sí.", "---", "### 2. Categorización de los números según residuos", "Al extraer tres números, cada uno cae en una de las tres clases de residuos: 0, 1 o 2. Queremos contar los casos donde la suma de los residuos sea congruente con 0 módulo 3.\nEs decir, queremos que la suma de los tres residuos sea Σ res ≡ 0 (mod 3).", "---", "### 3. Combinaciones favorables", "Buscamos todas las combinaciones ordenadas (o no) de tres residuos (r₁, r₂, r₃) tales que:", "[\nr₁ + r₂ + r₃ \equiv 0 \pmod{3}\n]", "Los residuos se eligen entre {0, 1, 2}. Analizamos las combinaciones posibles:", "#### a) Todos iguales:\n- 0 + 0 + 0 ≡ 0\n- 1 + 1 + 1 ≡ 3 ≡ 0\n- 2 + 2 + 2 ≡ 6 ≡ 0", "Esto da 3 combinaciones válidas.", "#### b) Dos iguales y uno distinto tal que la suma sea 0 mod 3:\n- 0 + 1 + 2 ≡ 3 ≡ 0 → todas las permutaciones\n- 1 + 1 + 1 ya cubierto\n- 2 + 2 + 2 ya cubierto", "Para (0, 1, 2), hay (3! = 6) permutaciones. Por ejemplo: (0,1,2), (0,2,1), ..., (2,1,0).", "#### c) Otras combinaciones:\n- Triple con residuo 0: (0,0,0) — ya contado\n- Triple con residuo 1: (1,1,1) — ya contado\n- Triple con residuo 2: (2,2,2) — ya contado\n- Combinaciones como (0,0,0), (1,1,1), (2,2,2), (0,1,2) y sus permutaciones cubren todos los casos que suman 0 mod 3.", "---", "### 4. Total de combinaciones posibles", "Para cada número se elige independientemente entre las tres clases, y hay tres números. Cada uno tiene 3 opciones posibles (residuo 0, 1 o 2), por lo tanto, hay:", "[\n3^3 = 27 \quad \ ext{combinaciones totales de residuos}\n]", "---", "### 5. Cálculo de la probabilidad", "De las 27 combinaciones posibles de residuos, 15 cumplen que la suma es divisible por 3 (3 combinaciones monoclásicas y 6 permutaciones de (0,1,2), más otras combinaciones equivalentes analizadas).", "Sin embargo, un enfoque más preciso es usar aritmética modular para contar casos sin enumerar exhaustivamente.", "#### Enfoque: conteo con generadoras modulares", "Definimos funciones generadoras que cuentan cuántos números en cada clase existen. Si asumimos una distribución uniforme entre los 3 residuos (modelo idealizado), pero para el cálculo exacto + probabilístico, usamos congruencias.", "La probabilidad exacta se calcula como:", "[\nP(\ ext{suma ≡ 0 mod 3}) = \frac{\ ext{Número de ternas } (r_1,r_2,r_3) \in {0,1,2}^3 \ ext{ tales que } r_1+r_2+r_3 \equiv 0 \pmod{3}}{3^3}\n]", "Al analizar todas las combinaciones posibles (exhaustivamente o con técnicas combinatorias modulares), el número exacto de ternas que suman 0 mod 3 es 9 combinaciones únicas considerando permutaciones equivalentes, y como cada terna de residuos se repite con igual probabilidad, el cálculo da:", "[\nP = \frac{\ ext{Casos favorables}}{27} = \frac{9 + 6}{27} = \frac{15}{27} = \frac{5}{9}\n]", "Pero esa cantidad no es exacta sin desglose detallado.", "---", "### 6. Desglose detallado (método riguroso)", "Para mayor claridad, contamos cuántas ternas ordenadas (a,b,c) con a,b,c ∈ {0,1,2} satisfacen:", "[\na + b + c ≡ 0 \pmod{3}\n]", "Usamos recuento:", "- Frecuencia de residuos en {0,1,2} → cada clase tiene frecuencia 1.\n- Cada combinación (r₁,r₂,r₃) tiene peso igual (1 posible número por clase), y existen 3³ = 27 total.", "Ahora contamos cuántas ternas tienen suma ≡ 0 mod 3:", "→ Usando teoría de funciones generadoras o análisis exhaustivo por casos, se demuestra que hay 9 combinaciones que cumplen la condición.", "Ejemplos:\n(0,0,0), (1,1,1), (2,2,2),\n(0,1,2), (0,2,1), (1,0,2), (1,2,0), (2,0,1), (2,1,0) — 6 permutaciones de (0,1,2)\nTotal: 3 + 6 = 9 combinaciones favorecidas.", "---", "### Por lo tanto:", "[\n\ ext{Probabilidad} = \frac{\ ext{Número de combinaciones favorables}}{\ ext{Total de combinaciones}} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}\n]", "---", "### Conclusión", "La probabilidad de que la suma de tres números enteros elegidos al azar sea divisible por 3 es exactamente 1/3, gracias al equilibrio simétrico de los residuos módulo 3. Este resultado ilustra cómo la aritmética modular y el análisis combinatorio permiten resolver problemas probabilísticos complejos de forma elegante y precisa.", "Este enfoque no solo resuelve exponencialmente más rápido que enumerar todos los casos posibles, sino que también revela patrones profundos en la estructura de los números enteros.", "---", "### Palabras clave:\n- Probabilidad divisibilidad por 3\n- Aritmética modular\n- Combinatoria modular\n- Probabilidad combinatoria\n- Residuos módulo 3\n- Ternas sumando múltiplo de 3\n- Cálculo probabilístico clásico", "Si necesitas más ejercicios o ejemplos aplicados, ¡esta solución es clave para toda teoría de probabilidad con enteros!"]