Pregunta: Three integers are randomly selected from 1 to 50 inclusive. ¿Cuál es la probabilidad de que su suma sea divisible por 3?

["Título: Probabilidad de que la suma de tres enteros entre 1 y 50 sea divisible por 3: Análisis matemático", "Cuando se eligen tres enteros al azar del 1 al 50 inclusive, una pregunta interesante surge: ¿cuál es la probabilidad de que su suma sea divisible por 3? Este tipo de problema combina teoría de probabilidades con propiedades aritméticas, especialmente el comportamiento de los residuos módulo 3.", "---", "### ¿Por qué es importante el módulo 3?", "Un número entero excavation al dividirlo por 3 deja un residuo de 0, 1 o 2. Estos residuos —llamados clases de residuo módulo 3— permiten clasificar los números y analizar cómo se combinan al sumar tres valores.", "Los enteros del 1 al 50 se distribuyen de la siguiente forma entre los residuos 0, 1 y 2:", "- Residuo 0: números divisibles por 3 (3, 6, 9, ..., 48) → hay 16 números\n- Residuo 1: números ≡ 1 mod 3 (1, 4, 7, ..., 49) → hay 17 números\n- Residuo 2: números ≡ 2 mod 3 (2, 5, 8, ..., 50) → hay 17 números", "Esta distribución no es simétrica, pero nos da una ventaja: podemos calcular probabilidad exacta usando combinaciones ponderadas.", "---", "### Paso 1: Espacio muestral total", "Se eligen 3 enteros distintos (o con reemplazo, pero asumiremos sin pérdida de generalidad distribución uniforme) entre 50, por lo que el número total de combinaciones posibles es:", "[\n\binom{50}{3} = \frac{50 \ imes 49 \ imes 48}{6} = 19,600\n]", "Sin embargo, dado que seleccionamos enteros con reemplazo típico en problemas similares, el número total de combinaciones posibles (con repetición) es:", "[\n50 \ imes 50 \ imes 50 = 125,000\n]", "Pero para precisión, analizamos combinaciones considerando las clases de residuo. La probabilidad se calcula como la suma de las probabilidades de todas las combinaciones válidas donde la suma ≡ 0 mod 3, dividida por el total de combinaciones.", "Para simplicidad y exactitud, trabajaremos con las frecuencias:", "- ( n_0 = 16 ) (residuo 0)\n- ( n_1 = 17 ) (residuo 1)\n- ( n_2 = 17 ) (residuo 2)", "---", "### Paso 2: Condiciones para que la suma sea divisible por 3", "La suma de tres números es divisible por 3 si y solo si la suma de sus residuos módulo 3 es ≡ 0 mod 3. Las combinaciones válidas de residuos son:", "1. 0 + 0 + 0 ≡ 0 mod 3\n2. 1 + 1 + 1 ≡ 3 ≡ 0 mod 3\n3. 2 + 2 + 2 ≡ 6 ≡ 0 mod 3\n4. 0 + 1 + 2 ≡ 3 ≡ 0 mod 3 (cualquier orden)", "Además, combinaciones con números repetidos, como (0,1,2), deben contarse correctamente.", "---", "### Paso 3: Contar combinaciones favorables", "Calculamos el número de tripletes (no necesariamente distintos, pero sin considerar orden, luego ajustamos) cuyo residuo suma 0 mod 3.", "Usamos combinaciones con repetición permitida, pero respetando frecuencias:", "#### Caso 1: Tres con residuo 0\nNúmero de maneras:\n[\n\binom{16 + 3 - 1}{3} = \binom{18}{3} = \frac{18 \ imes 17 \ imes 16}{6} = 816\n]", "#### Caso 2: Tres con residuo 1\nFrecuencia válida:\n[\n\binom{17 + 3 - 1}{3} = \binom{19}{3} = \frac{19 \ imes 18 \ imes 17}{6} = 969\n]", "#### Caso 3: Tres con residuo 2\nIgual:\n[\n\binom{17 + 3 - 1}{3} = \binom{19}{3} = 969\n]", "#### Caso 4: Uno de cada clase (0, 1, 2)\nTomamos un número de cada clase. Asumiendo reemplazo y orden, o combinaciones sin repetir posición:", "Número de formas:\n[\n16 \ imes 17 \ imes 17 = 4,624\n]", "Pero cuidado: esta cuenta representa todas las permutaciones posibles (6 combinaciones en orden, pero en nuestro caso no se especifica si el orden importa). Dado que la selección es unaboropuerto (sin orden), debemos tratar como combinaciones o considerar que el orden sí importa en el muestreo.", "Para coherencia, suponemos que los tres números se seleccionan en orden (con reemplazo), por lo que el espacio total es (50^3 = 125,000), y calculamos favorable en ese marco.", "Entonces, para (0,1,2) y permutaciones, hay 6 combinaciones ordenadas distintas (0,1,2), (0,2,1), (1,0,2), (1,2,0), (2,0,1), (2,1,0). Pero dado que (n_0, n_1, n_2) son tamaños absolutos, multiplicamos por 6:", "[\n6 \ imes (16 \ imes 17 \ imes 17) = 6 \ imes 4,624 = 27,744\n]", "---", "### Paso 4: Sumar todas combinaciones favorables", "- Tres 0: 816\n- Tres 1: 969\n- Tres 2: 969\n- Una de cada uno (0,1,2 en algún orden): 27,744", "Total favorables:", "[\n816 + 969 + 969 + 27,744 = 33,498\n]", "---", "### Paso 5: Calcular probabilidad", "[\n\ ext{Probabilidad} = \frac{33,498}{125,000} = 0.267984\n]", "Para expresarlo como fracción exacta:", "[\n\frac{33498}{125000} = \frac{16,749}{62,500}\n]", "Esta fracción se puede simplificar, pero 33498 y 125000 no tienen factores comunes claros (verificamos que 33498 es par, 125000 no; 3+3+4+9+9+8=36, divisible por 3, 1+2+5+0+0+0=8, no, por lo que no divisible por 9), por lo que la decimal es el formato más claro.", "---", "### Resultado final aproximado y exacto", "La probabilidad de que la suma de tres enteros elegidos al azar entre 1 y 50 sea divisible por 3 es aproximadamente 26.8%, o exactamente:", "[\n\frac{33498}{125000} = 0.267984\n]", "---", "### Conclusión", "Aunque los residuos no están equilibrados (hay 17 con residuo 1 y 16 con 0), el gran número de combinaciones permite que la probabilidad esté cerca de 1/3 —y efectivamente, (1/3 \approx 0.333), y el valor real (≈0.268) es razonable dado los pequeños desequilibrios en la distribución.", "Este tipo de problema ilustra cómo el análisis modular y las técnicas combinatorias permiten resolver cuestiones probabilísticas complejas de forma precisa.", "---", "Palabras clave SEO: probabilidad suma divisible por 3, tres enteros 1 a 50, residuos módulo 3, probabilidad modular, combinatoria con condiciones, suma de enteros divisibilidad 3", "Meta descripción: Descubre cómo calcular la probabilidad de que tres enteros seleccionados al azar entre 1 y 50 tengan suma divisible por 3, usando teoría de residuos y combinatoria. Análisis completo y exacto."]