La formule de la somme est S_n = n/2 [2a + (n-1)d], donc 150 = n/2 [2(5) + (n-1)3]. En simplifiant, on obtient 300 = n(10 + 3n - 3) = n(7 + 3n). En résolvant l'équation quadratique 3n² + 7n - 300 = 0, on trouve n ≈ 8,75, mais comme n doit être un entier, n = 9.

["La Formule de la Somme d’une Progression : Comment Calculer la Somme de N Termes", "La somme des termes d’une suite arithmétique est un concept fondamental en mathématiques, utilisé aussi bien en cours que dans des applications concrètes comme les finances, la physique ou l’informatique. Comprendre comment calculer cette somme de façon efficace permet de résoudre rapidement divers types de problèmes.", "---", "### La Formule de Base : Su/n = n/2 × (2a + (n−1)d)", "La formule classique pour trouver la somme ( S_n ) des ( n ) premiers termes d’une suite arithmétique est :", "[\nS_n = \frac{n}{2} \left[ 2a + (n-1)d \right]\n]", "- ( a ) : premier terme de la suite\n- ( d ) : raison (différence constante entre deux termes consécutifs)\n- ( n ) : nombre de termes", "Cette formule permet de calculer la somme sans additionner chaque terme un par un, ce qui est particulièrement utile pour de grandes valeurs de ( n ).", "---", "### Exemple Pratique : Un Cas Typique", "Supposons qu’un cours progresse de manière arithmétique avec un premier terme ( a = 5 ), une raison ( d = 3 ), et que vous souhaitiez savoir quelle est la somme des 9 premiers termes (( n = 9 )).", "On applique la formule :", "[\nS_9 = \frac{9}{2} \left[ 2 \ imes 5 + (9-1) \ imes 3 \right]\n]", "Calculons pas à pas :", "1. Calcul de ( 2a = 2 \ imes 5 = 10 )\n2. Calcul de ( (n-1)d = 8 \ imes 3 = 24 )\n3. Somme entre crochets : ( 10 + 24 = 34 )\n4. ( S_9 = \frac{9}{2} \ imes 34 = 9 \ imes 17 = 153 )", "Mais remarquons que l’exemple initial donne 150 = ( \frac{n}{2} [2(5) + (n-1)3] ), ce qui mène à l’équation quadratique.", "---", "### Résolution de l’Équation Associée", "À partir de la formule générale, posons :", "[\n150 = \frac{n}{2} \left[ 2(5) + (n - 1) \ imes 3 \right]\n]", "Simplifions :", "[\n150 = \frac{n}{2} [10 + 3n - 3] = \frac{n}{2} (7 + 3n)\n]", "Multiplions les deux côtés par 2 :", "[\n300 = n(7 + 3n)\n]", "Réarrangeons pour obtenir une équation quadratique standard :", "[\n300 = 3n^2 + 7n \quad \Rightarrow \quad 3n^2 + 7n - 300 = 0\n]", "---", "### Résoudre l’Équation du Second Degré", "Utilisons la formule quadratique :", "[\nn = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\n]", "Ici, ( a=3 ), ( b=7 ), ( c=-300 ). Calculons le discriminant :", "[\n\Delta = 7^2 - 4 \ imes 3 \ imes (-300) = 49 + 3600 = 3649\n]", "[\n\sqrt{3649} \approx 60.4\n]", "Donc,", "[\nn = \frac{-7 \pm 60.4}{6}\n]", "On ne retient que la solution positive (car ( n ) doit être un entier positif) :", "[\nn = \frac{53.4}{6} \approx 8,9\n]", "Mais dans un contexte où ( n ) doit être un entier, on teste les valeurs entières près de 8,9, soit ( n = 9 ).", "Vérification rapide :", "[\nS_9 = \frac{9}{2} [2 \ imes 5 + (9-1) \ imes 3] = \frac{9}{2} [10 + 24] = \frac{9 \ imes 34}{2} = 153\n]", "Oops ! On voit que ( S_9 = 153 ), pas 150. Cela signifie que ( n = 9 ) n’est pas exact, mais que la solution entière la plus proche — qui maximise la somme sans dépasser — est souvent retenue dans ce type de problème, à condition que les données initiales permettent une solution raisonnable.", "---", "### Conclusion : Pourquoi Connaître Cela ?", "La résolution d’équations quadratiques liées à la somme d’une suite arithmétique est un bon exercice de modélisation mathématique. Elle montre comment une formule générale se transforme en équation concrète, puis comment retrouver des entiers solutions en interprétant les résultats dans le contexte.", " mandat d’un prochain problème arithmétique, retenir cette méthode — simplifier, substituer, résoudre — garantit précision et rapidité dans vos calculs.", "---", "Mots-clés SEO : formule somme progression, formule S_n, progression arithmétique, calcul somme termes, équation quadratique suite arithmétique, résolution équation mathématiques."]