Trending Articles
السؤال: ما هي أكبر قيمة ممكنة للقاسم المشترك الأكبر $(a,b)$، إذا كان مجموع عددين صحيحين موجبين $a + b = 96$؟
الحل: ليكن $d = \gcd(a, b)$. إذن $a = dx$، $b = dy$، حيث $\gcd(x, y) = 1$.
ثم $a + b = d(x + y) = 96$، لذا يجب أن يكون $d$ قاسمًا للعدد $96$.
لتعظيم $d$، نختار أكبر قاسم للعدد $96$ بحيث يكون $x + y$ عددًا صحيحًا موجبًا، و$\gcd(x, y) = 1$.
أكبر قاسم للعدد $96$ هو $48$، مع $x + y = 2$. الزوج $(x, y) = (1, 1)$ يحقق $\gcd(1,1)=1$.
إذن، $a = 48 \cdot 1 = 48$، $b = 48 \cdot 1 = 48$، و$\gcd(a,b) = 48$.
لذلك، أكبر قيمة ممكنة لـ $\gcd(a,b)$ هي $\boxed{48}$.
السؤال: ما هو القاسم المشترك الأكبر للعددين $105$ و $165$؟
الحل: نطبق خوارزمية إقليدس لإيجاد $\gcd(105, 165)$.
= 1 \cdot 105 + 60
