Pregunta: Dos amigos, Clara y Daniel, llegan a una cafetería en tiempos aleatorios y uniformemente entre la 1:00 PM y las 2:00 PM. ¿Cuál es la probabilidad de que Clara llegue al menos 15 minutos antes que Daniel?
["Título: Probabilidad de que Clara llegue al menos 15 minutos antes que Daniel en una cafetería — Un problema de variables aleatorias uniformes", "Introducción\nEn muchos estudios de probabilidad, situaciones cotidianas como la llegada aleatoria de amigos a una cafetería ofrecen un escenario perfecto para aplicar conceptos matemáticos. ¿Cuál es la probabilidad de que Clara llegue al menos 15 minutos antes que Daniel si ambos llegan de forma independiente y uniforme entre la 1:00 PM y las 2:00 PM? En este artículo exploramos cómo calcular esta probabilidad usando variables aleatorias y geometría de probabilidades.", "---", "Planteamiento del problema\nClara y Daniel eligen, de manera aleatoria e independiente, un momento de llegada entre las 13:00 y las 14:00 (es decir, en el intervalo de 60 minutos). Queremos calcular la probabilidad de que Clara llegue al menos 15 minutos antes que Daniel.", "Definamos:\n- ( C ) = tiempo de llegada de Clara (en minutos después de la 1:00 PM)\n- ( D ) = tiempo de llegada de Daniel (en minutos después de la 1:00 PM)", "Entonces, ( C ) y ( D ) son variables aleatorias independientes, cada una uniformemente distribuida entre 0 y 60.", "La condición que nos interesa es:\n[\nC \leq D - 15\n]\nEs decir, Clara llega al menos 15 minutos antes que Daniel.", "---", "Modelo geométrico: el espacio muestral\nDado que ambos tiempos son independientes y uniformes en [0, 60], el par ( (C, D) ) se distribuye uniformemente en el cuadrado de inversión coordinadas en el plano con ejes ( [0,60] \ imes [0,60] ).", "El área total del espacio muestral corresponde al área del cuadrado:\n[\n\ ext{Área total} = 60 \ imes 60 = 3600\n]", "Ahora, encontramos el área de la región donde ( C \leq D - 15 ), es decir, ( D \geq C + 15 ), dentro del intervalo [0,60]×[0,60].", "---", "Cálculo de la región favorable\nLa condición ( D \geq C + 15 ) se cumple cuando:\n- ( C ) puede ir desde 0 hasta ( 60 - 15 = 45 ) (porque si ( C > 45 ), entonces ( D = C + 15 > 60 ), lo cual no es posible),\n- Para cada valor de ( C ) entre 0 y 45, ( D ) va desde ( C + 15 ) hasta 60.", "Así, el área de la región favorable se calcula como doble integral:\n[\n\ ext{Área favorable} = \int_{C=0}^{45} \int_{D=C+15}^{60} dD, dC\n]", "Calculamos la integral interna:\n[\n\int_{D=C+15}^{60} dD = 60 - (C + 15) = 45 - C\n]", "Luego la integral exterior:\n[\n\int_{0}^{45} (45 - C), dC = \left[ 45C - \frac{1}{2}C^2 \right]_0^{45} = 45 \ imes 45 - \frac{1}{2} \ imes 45^2 = 2025 - \frac{2025}{2} = \frac{2025}{2} = 1012.5\n]", "---", "Computo la probabilidad\nLa probabilidad es la razón entre el área favorable y el área total:\n[\nP(C \leq D - 15) = \frac{1012.5}{3600} = \frac{2025 \div 2}{3600} = \frac{2025}{7200}\n]", "Simplificamos:\n[\n\frac{2025 \div 225}{7200 \div 225} = \frac{9}{32}\n]", "Por lo tanto,\n[\nP = \frac{9}{32} \approx 0.28125\n]", "---", "Conclusión\nLa probabilidad exacta de que Clara llegue al menos 15 minutos antes que Daniel, cuando ambos llegan aleatoriamente e uniformemente entre la 1:00 PM y las 2:00 PM, es\n[\n\boxed{\frac{9}{32}}\n]\no aproximadamente el 28.125%. Este resultado combina elegantemente geometría y teoría de probabilidades, demostrando cómo problemas aparentemente simples pueden revelar profundas conexiones matemáticas.", "---", "Palabras clave: probabilidad, variables aleatorias uniformes, pares de variables, geometría de probabilidades, Clara y Daniel, distribuciones uniformes, cálculo de probabilidades, tiempo aleatorio, análisis probabilístico."]
